حل فعالیت صفحه 138 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۸ - فعالیت ۱ سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! بیایید با هم مراحل حل این مسئلهٔ جذاب هندسهٔ فضایی را طی کنیم. **تحلیل و حل گام به گام:** * **الف) خواص پاره‌خط $OM$:** در مثلث متساوی‌الساقین $OBC$، چون $M$ وسط قاعده است، پاره‌خط $OM$ هم **میانه** است و هم چون مثلث متساوی‌الساقین است، **ارتفاع** و **نیمساز** نیز می‌باشد. * **ب) نوع مثلث $OBM$:** چون $OM$ بر $BC$ عمود است، مثلث $OBM$ یک مثلث **قائم‌الزاویه** در رأس $M$ است. * **ج) محاسبه $OM$:** در مثلث قائم‌الزاویه $OBM$، وتر $OB=10$ و ضلع $BM=6$ (نصف ضلع قاعده ۱۲) است. طبق قضیهٔ **فیثاغورس**: $$OM^2 + BM^2 = OB^2 \Rightarrow OM^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow OM^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow OM = 8 \text{ cm}$$ * **د) مثلث $OMH$ و طول $MH$:** مثلث $OMH$ یک مثلث **قائم‌الزاویه** در رأس $H$ است (چون $OH$ ارتفاع هرم است). طول $MH$ برابر است با نصف ضلع قاعده، یعنی: **$MH = 6 \text{ cm}$**. * **ه) محاسبه ارتفاع هرم ($OH$):** دوباره از قضیهٔ **فیثاغورس** در مثلث $OMH$ استفاده می‌کنیم: $$OH^2 + MH^2 = OM^2 \Rightarrow OH^2 + 6^2 = 8^2 \Rightarrow OH^2 = 64 - 36 = 28 \Rightarrow OH = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ cm}$$ * **و) محاسبه حجم هرم:** فرمول حجم هرم $V = \frac{1}{3} S h$ است. مساحت قاعده مربع: $S = 12 \times 12 = 144 \text{ cm}^2$ $$V = \frac{1}{3} \times 144 \times 2\sqrt{7} = 48 \times 2\sqrt{7} = 96\sqrt{7} \text{ cm}^3$$ بنابراین حجم هرم برابر با **$96\sqrt{7}$** سانتی‌متر مکعب است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۸ - فعالیت ۲ در این فعالیت می‌خواهیم یک مفهوم بسیار مهم در ریاضیات را به زبان ساده بررسی کنیم: **حد و پیوستگی شکل‌ها**. **تحلیل و پاسخ:** * وقتی تعداد ضلع‌های یک چندضلعی منتظم (مثل مربع یا شش‌ضلعی) را بی‌نهایت زیاد کنیم، آن شکل رفته‌رفته لبه‌های تیزش را از دست می‌دهد و به یک **دایره** نزدیک می‌شود. * با توجه به این تغییر در قاعده، کلِ حجمِ هرم نیز تغییر شکل می‌دهد. وقتی قاعده دایره شود و تمام وجه‌های جانبی (که مثلث بودند) به یک سطح منحنی و صاف تبدیل شوند، هرم به شکل هندسی **مخروط** نزدیک می‌شود. **نتیجه‌گیری:** مخروط در واقع حالت خاصی از یک هرم است که قاعده‌اش دایره می‌باشد. به همین دلیل فرمول حجم مخروط هم دقیقاً مثل هرم، از رابطهٔ $V = \frac{1}{3} S h$ به دست می‌آید، با این تفاوت که در مخروط، مساحت قاعده ($S$) همیشه مساحت یک دایره یعنی $\pi r^2$ است.